1. Il pilastro dell'autonomia
Ci concentriamo principalmente su sistemi autonomi. Un sistema con la proprietà che $F$ e $G$ nelle equazioni (1) non dipendono dalla variabile indipendente $t$ si dice autonomo. Questa indipendenza ci permette di interpretare le traiettorie come percorsi permanenti in un piano delle fasi fisso.
Per qualsiasi sistema autonomo $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x})$, esiste una soluzione unica che soddisfa $\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0$. Nel piano delle fasi, ciò garantisce che le traiettorie mai si incrocino; il percorso è determinato interamente dallo stato corrente, non dal momento in cui vi siete arrivati.
2. Riferimenti lineari vs. realtà non lineari
Nei sistemi lineari $\mathbf{x}' = \mathbf{Ax}$, l'origine è tipicamente l'unico punto di equilibrio, governato dal determinante $q = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ e dal traccia. Tuttavia, i sistemi non lineari sono definiti dai loro punti critici—località in cui il termine di destra è nullo. Un grande pericolo è che potrebbero esserci diversi o molti punti critici che competono per influenzare le traiettorie.
Esempio: Pendolo non lineare
A differenza del sistema massa-molla lineare, dove il periodo è costante, il periodo $T$ di un pendolo non lineare dipende dall'ampiezza, espresso tramite l'integrale ellittico:
$$T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}}$$
3. Stabilità e visione di Liapunov
Per analizzare questi punti senza risolvere le equazioni, utilizziamo Funzioni di Liapunov. Sia $V$ definita in un certo dominio $D$ contenente l'origine. Allora $V$ si dice definita positiva su $D$ se $V(0, 0) = 0$ e $V(x, y) > 0$ per tutti gli altri punti in $D$.
Man mano che passiamo al 3D, incontriamo la matrice di Lorenz:
$$\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} -10 & 10 & 0 \\ 1 & -1 & -\sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} \\ \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}$$